Solve the problem.
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$$\iiint _ { R } \int \sqrt { 1 - \left( \frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 16 } + \frac { z ^ { 2 } } { 9 } \right) } d x d y d z$$
where $R$ is the interior of the ellipsoid $\frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 16 } + \frac { z ^ { 2 } } { 9 } = 1$. Hint: Let $x = 5 u , y = 4 v , z = 3 w$, and then convert to spherical coordinates.
A) $15 \pi$
B) $20 \pi$
C) $20 \pi ^ { 2 }$
D) $15 \pi ^ { 2 }$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Let $x = 5 u , y = 4 v , z = 3 w$, and we have
$$\int _ { -1 } ^ { 1 } \int _ { -\sqrt { 1-u ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { 1-u ^ { 2 } } } \int _ { -\frac { 3 } { 2 } \sqrt { 1 - u ^ { 2 } - v ^ { 2 } } } ^ { \frac { 3 } { 2 } \sqrt { 1 - u ^ { 2 } - v ^ { 2 } } } 3\cdot w \sqrt { 1 - u ^ { 2 } - v ^ { 2 } - w ^ { 2 } } \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot d w d v d u$$
$$540\int _ { 0 } ^ { \frac {\pi} {2} } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 2\sqrt { 1 - u ^ { 2 } - v ^ { 2 } } } w \cdot \sqrt { 1 - u ^ { 2 } - v ^ { 2 } - w ^ { 2 } } \cdot w ^ { 2 }  d w d v d u$$
$$= 540\int _ {0} ^ { \frac {\pi} {2} } \int _{ 0 }^{ 1 }\frac { 1 } { 8 } (1 - u ^ { 2 } - v ^ { 2 }) ^ { 3 / 2 }  d v d u$$
Let $v = \rho \sin \theta $, then we have
$$= 540\int _ { 0 } ^ { \frac {\pi} {2} } \int _ { 0 } ^ { \sqrt{1-u ^ { 2 }}} \frac { 1 } { 8 }\rho (1 - u ^ { 2 } - \rho ^ { 2 }) ^ { 3 / 2 } d \rho d u = 54 \int _ { 0 } ^ { \frac {\pi} {2} } (1 - u ^ { 2 }) ^ { 2 }  d u $$
$$= 54 \int _ { 0 } ^ { \frac {\pi} {2} } (1 - u ^ { 2 }) ^ { 2 }  d u = 15 \pi ^ { 2 }$$

Solve the Problem ∭R∫1−(x225+y216+z29)dxdydz\iiint _ { R } \int \sqrt { 1 - \left( \frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 16 } + \frac { z ^ { 2 } } { 9 } \right) } d x d y d z∭R​∫1−(25x2​+16y2​+9z2​)​dxdydz

Solve the Problem $\iiint _ { R } \int \sqrt { 1 - \left( \frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 16 } + \frac { z ^ { 2 } } { 9 } \right) } d x d y d z$