$\text { Find } \mathrm { f } _ { \mathbf { x } } , \mathrm { f } _ { \mathbf { y } } \text {, and } \mathrm { f } _ { \mathbf { Z } }$
-$$f ( x , y , z ) = \ln ( x y ) ^ { z }$$
A) $\mathrm { f } _ { \mathrm { X } } = \mathrm { z } \ln \frac { \mathrm { z } } { \mathrm { x } } ; \mathrm { f } _ { \mathrm { y } } = \mathrm { z } \ln \frac { \mathrm { z } } { \mathrm { y } } ; \mathrm { f } _ { \mathrm { Z } } = \ln ( \mathrm { xy } )$
B) $f _ { X } = - \frac { z } { x } ; f _ { y } = - \frac { z } { y } ; f _ { z } = \ln ( x y )$
C) $\mathrm { f } _ { \mathrm { X } } = \frac { \mathrm { z } } { \mathrm { x } } ; \mathrm { f } _ { \mathrm { y } } = \frac { \mathrm { z } } { \mathrm { y } } ; \mathrm { f } _ { \mathrm { Z } } = \mathrm { z } \ln ( \mathrm { xy } ) ^ { \mathrm { z } - 1 }$
D) $\mathrm { f } _ { \mathrm { X } } = \frac { \mathrm { z } } { \mathrm { x } } ; \mathrm { f } _ { \mathrm { y } } = \frac { \mathrm { z } } { \mathrm { y } } ; \mathrm { f } _ { \mathrm { Z } } = \ln ( \mathrm { xy } )$

Question

Quizplus · Accepted Answer

We use the chain rule for partial differentiation.

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\ln (xy)^z) = \frac{z}{xy} \cdot y = \frac{z}{x}$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\ln (xy)^z) = \frac{z}{xy} \cdot x = \frac{z}{y}$

$f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (\ln (xy)^z) = \ln (xy) \cdot (xy)^z \cdot \frac{\partial}{\partial z} z = \ln (xy) \cdot (xy)^z$

Therefore, the correct choice is D.

Find fx,fy, and fZ\text { Find } \mathrm { f } _ { \mathbf { x } } , \mathrm { f } _ { \mathbf { y } } \text {, and } \mathrm { f } _ { \mathbf { Z } } Find fx​,fy​, and fZ​

$\text { Find } \mathrm { f } _ { \mathbf { x } } , \mathrm { f } _ { \mathbf { y } } \text {, and } \mathrm { f } _ { \mathbf { Z } }$