Find all the second order partial derivatives of the given function.
-$$f ( x , y ) = \ln \left( x ^ { 2 } y - x \right)$$
A) $\frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } = \frac { 2 x y - 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 1 } { \left( x ^ { 2 } y - x \right) ^ { 2 } } ; \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y ^ { 2 } } = - \frac { x ^ { 4 } } { \left( x ^ { 2 } y - x \right) ^ { 2 } } ; \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y \partial x } = \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \partial y } = - \frac { x ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } y - x \right) ^ { 2 } }$
B) $\frac { \partial ^ { 2 } \mathrm { f } } { \partial \mathrm { x } ^ { 2 } } = \frac { 2 \mathrm { xy } - 2 \mathrm { x } ^ { 2 } \mathrm { y } ^ { 2 } - 1 } { \left( \mathrm { x } ^ { 2 } \mathrm { y } - \mathrm { x } \right) ^ { 2 } } ; \frac { \partial ^ { 2 } \mathrm { f } } { \partial \mathrm { y } ^ { 2 } } = - \frac { \mathrm { x } ^ { 2 } } { \left( \mathrm { x } ^ { 2 } \mathrm { y } - \mathrm { x } \right) ^ { 2 } } ; \frac { \partial ^ { 2 } \mathrm { f } } { \partial \mathrm { y } \partial \mathrm { x } } = \frac { \partial ^ { 2 } \mathrm { f } } { \partial \mathrm { x } \partial \mathrm { y } } = - \frac { \mathrm { x } ^ { 2 } } { \left( \mathrm { x } ^ { 2 } \mathrm { y } - \mathrm { x } \right) ^ { 2 } }$
C) $\frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } = \frac { x y - x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 1 } { \left( x ^ { 2 } y - x \right) ^ { 2 } } ; \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y ^ { 2 } } = - \frac { x ^ { 4 } } { \left( x ^ { 2 } y - x \right) ^ { 2 } } ; \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y \partial x } = \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \partial y } = - \frac { x ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } y - x \right) ^ { 2 } }$
D) $\frac { \partial ^ { 2 } \mathrm { f } } { \partial \mathrm { x } ^ { 2 } } = \frac { 2 \mathrm { xy } - 2 \mathrm { x } ^ { 2 } \mathrm { y } ^ { 2 } - 1 } { \left( \mathrm { x } ^ { 2 } \mathrm { y } - \mathrm { x } \right) ^ { 2 } } ; \frac { \partial ^ { 2 } \mathrm { f } } { \partial \mathrm { y } ^ { 2 } } = \frac { \mathrm { x } ^ { 4 } } { \left( \mathrm { x } ^ { 2 } \mathrm { y } - \mathrm { x } \right) ^ { 2 } } ; \frac { \partial ^ { 2 } \mathrm { f } } { \partial \mathrm { y } \partial \mathrm { x } } = \frac { \partial ^ { 2 } \mathrm { f } } { \partial \mathrm { x } \partial \mathrm { y } } = \frac { \mathrm { x } ^ { 2 } } { \left( \mathrm { x } ^ { 2 } \mathrm { y } - \mathrm { x } \right) ^ { 2 } }$

Question

Quizplus · Accepted Answer

It is straightforward to find the first-order partial derivatives:
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2xy-1}{x^2y-x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^2-1}{x^2y-x^2}.$$
Using these, we can find the second-order partial derivatives:
\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{2xy-1}{x^2y-x}ight) = \frac{2y(x^2y-x)-2xy(2xy-1)}{(x^2y-x)^2}\
&= \frac{2xy-2x^2y^2-1}{(x^2y-x)^2}, \
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^2-1}{x^2y-x^2}ight) = \frac{x^4}{(x^2y-x)^2}, \
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2xy-1}{x^2y-x}ight) = -\frac{x^2}{(x^2y-x)^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}.
\end{align*}

Find All the Second Order Partial Derivatives of the Given f(x,y)=ln⁡(x2y−x)f ( x , y ) = \ln \left( x ^ { 2 } y - x \right)f(x,y)=ln(x2y−x)

Find All the Second Order Partial Derivatives of the Given $f ( x , y ) = \ln \left( x ^ { 2 } y - x \right)$