Find the gradient vector field of $f$.
$$f ( x , y , z ) = \sqrt { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } }$$
A) $\frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \mathbf { i } + \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \mathbf { j } + \frac { z } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \mathbf { k }$
B)
$\frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } } } \mathbf { i } + \frac { 2 y } { \sqrt { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } } } \mathbf { j } + \frac { 4 z } { \sqrt { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } } } \mathbf { k }$
C) $\frac { 2 x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \mathbf { i } + \frac { 2 y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \mathbf { j } + \frac { 2 z } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \mathbf { k }$
D) $\frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \mathbf { i } + \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \mathbf { j } + \frac { z } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \mathbf { k }$
E) None of these

Question

Quizplus · Accepted Answer

We have to find the gradient vector field of $f$, which is given by:

$$\nabla f ( x , y , z ) = \frac { \partial f } { \partial x } \mathbf { i } + \frac { \partial f } { \partial y } \mathbf { j } + \frac { \partial f } { \partial z } \mathbf { k }$$

Let's first find the partial derivatives of $f$:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2y^2 + 4z^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2y^2 + 4z^2}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} \frac{4y}{\sqrt{x^2 + 2y^2 + 4z^2}} = \frac{2y}{\sqrt{x^2 + 2y^2 + 4z^2}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2} \frac{8z}{\sqrt{x^2 + 2y^2 + 4z^2}} = \frac{4z}{\sqrt{x^2 + 2y^2 + 4z^2}}$$

Therefore, the gradient vector field of $f$ is:

$$\nabla f ( x , y , z ) = \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } } } \mathbf { i } + \frac { 2 y } { \sqrt { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } } } \mathbf { j } + \frac { 4 z } { \sqrt { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } } } \mathbf { k }$$

Therefore, the correct answer is (B).

Find the Gradient Vector Field Of fff f(x,y,z)=x2+2y2+4z2f ( x , y , z ) = \sqrt { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } }f(x,y,z)=x2+2y2+4z2​

Find the Gradient Vector Field Of $f$ $f ( x , y , z ) = \sqrt { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } }$