Find the integral.
$$\int \frac { x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 6 x - 2 } { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x } d x$$
A) $\ln \left| \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } } \right| - \frac { 2 } { x - 1 } + x + C$
B) $\ln \left| \frac { x ^ { 2 } } { x - 1 } \right| - \frac { 2 } { x - 1 } + x + C$
C) $\ln \left| \frac { x ^ { 2 } } { x - 1 } \right| - \frac { 1 } { x - 1 } + x + C$
D) $\ln \left| \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } } \right| - \frac { 1 } { x - 1 } + x + C$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Explanation:Factor the denominator: $x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1) = x(x - 1)^2$.Then, use partial fractions to decompose the integrand:$$\frac { x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 6 x - 2 } { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x } = \frac { A } { x } + \frac { B } { x - 1 } + \frac { C } { ( x - 1 ) ^ { 2 } }$$Multiply both sides by $x^3 - 2x^2 + x$ to get:$x^3 - 3x^2 + 6x - 2 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - x) + C(x)$$x^3 - 3x^2 + 6x - 2 = Ax^2 - 2Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx$$x^3 - 3x^2 + 6x - 2 = (A+B)x^2 + (-2A-B+C)x + A$Equating coefficients, we get:$A = -2$$-2A-B+C = 6$$A+B = -3$Solving for A, B, and C, we get:$A = -2$$B = -1$$C = 2$Therefore, the integral is:$$\int \frac { x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 6 x - 2 } { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x } d x = \int \left( \frac { -2 } { x } + \frac { -1 } { x - 1 } + \frac { 2 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } \right) d x$$$= -2 \ln |x| - \ln |x - 1| - \frac { 2 } { x - 1 } + C$$= \ln \left| \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } } \right| - \frac { 2 } { x - 1 } + C$

Find the Integral ∫x3−3x2+6x−2x3−2x2+xdx\int \frac { x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 6 x - 2 } { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x } d x∫x3−2x2+xx3−3x2+6x−2​dx

Find the Integral $\int \frac { x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 6 x - 2 } { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x } d x$