Combine into a single logarithm. $\frac { 3 } { 2 } \ln ( x - y ) - 2 \ln \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)$

A) $\ln \frac { ( x - y ) ^ { 3 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

B) $\ln \frac { \sqrt [ 3 ] { ( x - y ) ^ { 2 } } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 3 } }$

C) $\ln \frac { \sqrt { ( x - y ) ^ { 3 } } } { \left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

D) $\ln \frac { \sqrt [ 3 ] { ( x - y ) ^ { 2 } } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

E) $\ln \frac { \sqrt { ( x - y ) ^ { 3 } } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

Question

Combine into a single logarithm. $\frac { 3 } { 2 } \ln ( x - y ) - 2 \ln \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)$

A) $\ln \frac { ( x - y ) ^ { 3 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

B) $\ln \frac { \sqrt [ 3 ] { ( x - y ) ^ { 2 } } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 3 } }$

C) $\ln \frac { \sqrt { ( x - y ) ^ { 3 } } } { \left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

D) $\ln \frac { \sqrt [ 3 ] { ( x - y ) ^ { 2 } } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

E) $\ln \frac { \sqrt { ( x - y ) ^ { 3 } } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

Quizplus · Accepted Answer

Use the properties of logarithms to rewrite the given expression: 
\begin{align*}
\frac{3}{2}\ln(x-y)-2\ln(x^2+y^2) &= \ln[(x-y)^{3/2}] - \ln[(x^2+y^2)^2] \
&= \ln\left[\frac{(x-y)^{3/2}}{(x^2+y^2)^2}ight] \
&= \ln\left[\frac{\sqrt{(x-y)^3}}{(x^2+y^2)^2}ight]
\end{align*}
Therefore, the correct answer is $\boxed{	extbf{(E)}}.$

Combine into a Single Logarithm 32ln⁡(x−y)−2ln⁡(x2+y2)\frac { 3 } { 2 } \ln ( x - y ) - 2 \ln \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)23​ln(x−y)−2ln(x2+y2)

Combine into a Single Logarithm $\frac { 3 } { 2 } \ln ( x - y ) - 2 \ln \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)$