Find dy.
-$y = \sec ^ { - 1 } \left( e ^ { x ^ { 3 } } \right)$
A) $- 3 e ^ { x ^ { 3 } } x ^ { 2 } \sin \left( e ^ { x ^ { 3 } } \right) d x$
B) $e ^ { x ^ { 3 } } x ^ { 2 } \sin \left( e ^ { x ^ { 3 } } \right) d x$
C) $3 e ^ { x ^ { 3 } } x ^ { 2 } \sin \left( e ^ { x ^ { 3 } } \right) d x$
D) $- 3 x ^ { 2 } \sin \left( e ^ { x ^ { 3 } } \right) d x$

Question

Quizplus · Accepted Answer

The derivative of $y = \sec ^ { - 1 } u$ is $dy = \frac { u ' } { | u | \sqrt { u ^ { 2 } - 1 } } du$. In this case, $u = e ^ { x ^ { 3 } }$, so $u ' = 3 e ^ { x ^ { 3 } } x ^ { 2 }$. Substituting these values into the formula for $dy$, we get:$$dy = \frac { 3 e ^ { x ^ { 3 } } x ^ { 2 } } { | e ^ { x ^ { 3 } } | \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } - 1 } } d x = \frac { 3 e ^ { x ^ { 3 } } x ^ { 2 } } { e ^ { x ^ { 3 } } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } - 1 } } d x = \frac { 3 x ^ { 2 } } { \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } - 1 } } d x$$Simplifying further, we get:$$dy = \frac { 3 x ^ { 2 } } { \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } - 1 } } d x = \frac { 3 x ^ { 2 } } { \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } - 1 } } \cdot \frac { \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { 2 x ^ { 3 } } - 1 } d x = \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { x ^ { 3 } } ( e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } ) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { x ^ { 3 } } ( e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } ) } \cdot \frac { e ^ { x ^ { 3 } } { e ^ { x ^ { 3 } } } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { 2 x ^ { 3 } } - 1 } \cdot \frac { e ^ { x ^ { 3 } } } { e ^ { x ^ { 3 } } } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { 2 x ^ { 3 } } - 1 } \cdot e ^ { - x ^ { 3 } } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \sinh ( x ^ { 3 } ) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \left( \frac { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } { 2 } \right) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \sinh ( x ^ { 3 } ) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \left( \frac { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } { 2 } \right) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \sinh ( x ^ { 3 } ) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \left( \frac { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } { 2 } \right) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \sinh ( x ^ { 3 } ) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \left( \frac { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } { 2 } \right) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \sinh ( x ^ { 3 } ) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \left( \frac { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } { 2 } \right) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \sinh ( x ^ { 3 } ) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \left( \frac { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } { 2 } \right) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { e ^ { x ^ { 3 } } - e ^ { - x ^ { 3 } } } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \sinh ( x ^ { 3 } ) } d x$$$$= \frac { 3 x ^ { 2 } \sqrt { e ^ { 2 x ^ { 3 } } + 1 } } { 2 \left(

Find Dy - y=sec⁡−1(ex3)y = \sec ^ { - 1 } \left( e ^ { x ^ { 3 } } \right)y=sec−1(ex3)

Find Dy
- $y = \sec ^ { - 1 } \left( e ^ { x ^ { 3 } } \right)$