Explain how this: $$\begin{array} { l }
E \left[ w _ { 1 } { } ^ { 2 } u _ { 1 } { } ^ { 2 } + w _ { 2 } { } ^ { 2 } u _ { 2 } { } ^ { 2 } + \ldots + w _ { n } { } ^ { 2 } u _ { n } ^ { 2 } + 2 w _ { 1 } u _ { 1 } w _ { 2 } u _ { 2 } + 2 w _ { 1 } u _ { 1 } w _ { 3 } u _ { 3 } + \ldots \right. \
\left. + 2 w _ { 2 } u _ { 2 } w _ { 3 } u _ { 3 } + 2 w _ { 2 } u _ { 2 } w _ { 4 } u _ { 4 } + \ldots + 2 w _ { n - 1 } u _ { n - 1 } w _ { n } u _ { n } \right]
\end{array}$$

Question

Explain how this: $$\begin{array} { l } 
E \left[ w _ { 1 } { } ^ { 2 } u _ { 1 } { } ^ { 2 } + w _ { 2 } { } ^ { 2 } u _ { 2 } { } ^ { 2 } + \ldots + w _ { n } { } ^ { 2 } u _ { n } ^ { 2 } + 2 w _ { 1 } u _ { 1 } w _ { 2 } u _ { 2 } + 2 w _ { 1 } u _ { 1 } w _ { 3 } u _ { 3 } + \ldots \right. \
\left. + 2 w _ { 2 } u _ { 2 } w _ { 3 } u _ { 3 } + 2 w _ { 2 } u _ { 2 } w _ { 4 } u _ { 4 } + \ldots + 2 w _ { n - 1 } u _ { n - 1 } w _ { n } u _ { n } \right]
\end{array}$$

Quizplus · Accepted Answer

The Answer is collapses to this:

\sigma ^ { 2 } \Sigma w _ { i } ^ { 2 }

A ssume that

\mathrm { E } \left[ \mathrm { u } _ { i } \mathrm { u } _ { j } ight] = 0

for all

\mathrm { i } eq \mathrm { j }

, then the lengthy expression becomes:

E \left[ w _ { 1 } { } ^ { 2 } u _ { 1 } { } ^ { 2 } + w _ { 2 } { } ^ { 2 } u _ { 2 } { } ^ { 2 } + \ldots + w _ { n } { } ^ { 2 } u _ { n } ^ { 2 } ight]

Next, assume

\mathrm { E } \left[ \mathrm { u } _ { \mathbf { i } } ^ { 2 } ight] = \mathrm { E } \left[ \mathrm { u } _ { \mathbf { j } } ^ { 2 } ight] = \sigma ^ { 2 }

and we have:

E \left[ w _ { 1 } { } ^ { 2 } u _ { 1 } { } ^ { 2 } + w _ { 2 } { } ^ { 2 } u _ { 2 } { } ^ { 2 } + \ldots + w _ { n } { } ^ { 2 } u _ { n } { } ^ { 2 } ight] = \sigma ^ { 2 } E \left[ w _ { 1 } { } ^ { 2 } + w _ { 2 } { } ^ { 2 } + \ldots + w _ { n } { } ^ { 2 } ight] = \sigma ^ { 2 } \Sigma w _ { i } { } ^ { 2 }

Explain How This