Let $x ^ { 3 } y + y ^ { 3 } z + z ^ { 3 } x = 4$ , find $\frac { \delta z } { \delta y }$ .
A) $\frac { 3 x ^ { 2 } y + z ^ { 3 } } { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x }$
B) $- \frac { 3 y ^ { 2 } z + x ^ { 3 } } { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x }$
C) $\frac { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x } { 3 y ^ { 2 } z + x ^ { 3 } }$
D) $- \frac { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x } { 3 x ^ { 2 } y + z ^ { 3 } }$
E) $- \frac { 3 x ^ { 2 } y + z ^ { 3 } } { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x }$
F) $\frac { 3 y ^ { 2 } z + x ^ { 3 } } { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x }$
G) $- \frac { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x } { 3 y ^ { 2 } z + x ^ { 3 } }$
H) $\frac { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x } { 3 x ^ { 2 } y + z ^ { 3 } }$

Question

Let $x ^ { 3 } y + y ^ { 3 } z + z ^ { 3 } x = 4$ , find $\frac { \delta z } { \delta y }$ .
A) $\frac { 3 x ^ { 2 } y + z ^ { 3 } } { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x }$ 
B) $- \frac { 3 y ^ { 2 } z + x ^ { 3 } } { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x }$
C) $\frac { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x } { 3 y ^ { 2 } z + x ^ { 3 } }$ 
D) $- \frac { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x } { 3 x ^ { 2 } y + z ^ { 3 } }$
E) $- \frac { 3 x ^ { 2 } y + z ^ { 3 } } { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x }$ 
F) $\frac { 3 y ^ { 2 } z + x ^ { 3 } } { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x }$ 
G) $- \frac { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x } { 3 y ^ { 2 } z + x ^ { 3 } }$  
H) $\frac { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x } { 3 x ^ { 2 } y + z ^ { 3 } }$

Quizplus · Accepted Answer

To find $\frac{\delta z}{\delta y}$, we differentiate the given equation $x^3y + y^3z + z^3x = 4$ with respect to $y$, treating $x$ as a constant and $z$ as a function of $y$. Differentiating gives $3x^3\frac{\delta y}{\delta y} + 3y^2z\frac{\delta y}{\delta y} + y^3\frac{\delta z}{\delta y} + 3z^2x\frac{\delta z}{\delta y} = 0$. Simplifying and solving for $\frac{\delta z}{\delta y}$ yields $- \frac { 3 y ^ { 2 } z + x ^ { 3 } } { y ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } x }$.

Let x3y+y3z+z3x=4x ^ { 3 } y + y ^ { 3 } z + z ^ { 3 } x = 4x3y+y3z+z3x=4

Let $x ^ { 3 } y + y ^ { 3 } z + z ^ { 3 } x = 4$