Evaluate the cylindrical coordinate integral.
-$$\int _ { 7 } ^ { 10 } \int _ { 6 } ^ { 7 } \int _ { 0 } ^ { 5 r } z \mathrm { dzrdrd \theta }$$
A) $\frac { 82,875 } { 8 }$
B) $\frac { 27,625 } { 4 }$
C) $\frac { 359,125 } { 8 }$
D) $\frac { 635,375 } { 8 }$

Question

Quizplus · Accepted Answer

Explanation:Converting to cylindrical coordinates, we have $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$, and $dV = rdzdrd\theta$. So, the integral becomes$$\int _ { 7 } ^ { 10 } \int _ { 6 } ^ { 7 } \int _ { 0 } ^ { 5 r } z \mathrm { dzrdrd \theta } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 6 } ^ { 7 } \int _ { 0 } ^ { 5 r } z \mathrm { dzrdrd \theta }$$$= \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 6 } ^ { 7 } \left [ \frac { z ^ { 2 } } { 2 } \right ] _ { 0 } ^ { 5 r } \mathrm { rdrd \theta } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 6 } ^ { 7 } \frac { 25 r ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { rdrd \theta }\]\(= \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 6 } ^ { 7 } \frac { 25 r ^ { 3 } } { 2 } \mathrm { drd \theta } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [ \frac { 25 r ^ { 4 } } { 8 } \right ] _ { 6 } ^ { 7 } \mathrm { d \theta }\]\(= \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 25 ( 7 ^ { 4 } - 6 ^ { 4 } ) } { 8 } \mathrm { d \theta } = \frac { 25 ( 2401 - 1296 ) } { 8 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d \theta }\]\(= \frac { 25 ( 1105 ) } { 8 } ( 2 \pi ) = \frac { 68,875 } { 4 } = \frac { 82,875 } { 8 }$

Evaluate the Cylindrical Coordinate Integral ∫710∫67∫05rzdzrdrdθ\int _ { 7 } ^ { 10 } \int _ { 6 } ^ { 7 } \int _ { 0 } ^ { 5 r } z \mathrm { dzrdrd \theta }∫710​∫67​∫05r​zdzrdrdθ

Evaluate the Cylindrical Coordinate Integral $\int _ { 7 } ^ { 10 } \int _ { 6 } ^ { 7 } \int _ { 0 } ^ { 5 r } z \mathrm { dzrdrd \theta }$