Find T, N, and B for the given space curve.
-r(t) = (cosh t)i + (sinh t)j + tk
A) $\mathbf { T } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \tanh \mathrm { t } \operatorname { sech } \mathrm { t } ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } \mathrm { t } ) \mathbf { k } ; \mathbf { N } = ( - \operatorname { sech } \mathrm { t } ) \mathbf { i } - ( \tanh \mathrm { t } ) \mathbf { k }$; $\mathbf { B } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \sinh \mathrm { t } ) \mathbf { i } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathrm { j } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k }$
B) $\mathbf { T } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \tanh t \operatorname { sech } t ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k } ; \mathbf { N } = \left( \operatorname { sech } ^ { 2 } t \right) \mathbf { i } - ( \sinh t ) \mathbf { k } ;$ $\mathbf { B } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \sinh t ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k }$
C) $\mathbf { T } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \tanh t ) i + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } j + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k } ; \mathbf { N } = ( - \operatorname { sech } t ) i - ( \sinh t ) \mathbf { k }$; $\mathbf { B } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \sinh t ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k }$
D) $\mathbf { T } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \tanh \mathrm { t } ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k } ; \mathbf { N } = ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { i } - ( \tanh t ) \mathbf { k } ; \mathbf { B } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \tanh \mathrm { t } ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } \mathrm { t } ) \mathbf { k }$

Question

Find T, N, and B for the given space curve.
-r(t) = (cosh t)i + (sinh t)j + tk 
A) $\mathbf { T } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \tanh \mathrm { t } \operatorname { sech } \mathrm { t } ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } \mathrm { t } ) \mathbf { k } ; \mathbf { N } = ( - \operatorname { sech } \mathrm { t } ) \mathbf { i } - ( \tanh \mathrm { t } ) \mathbf { k }$; $\mathbf { B } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \sinh \mathrm { t } ) \mathbf { i } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathrm { j } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k }$
B) $\mathbf { T } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \tanh t \operatorname { sech } t ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k } ; \mathbf { N } = \left( \operatorname { sech } ^ { 2 } t \right) \mathbf { i } - ( \sinh t ) \mathbf { k } ;$ $\mathbf { B } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \sinh t ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k }$
C) $\mathbf { T } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \tanh t ) i + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } j + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k } ; \mathbf { N } = ( - \operatorname { sech } t ) i - ( \sinh t ) \mathbf { k }$; $\mathbf { B } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \sinh t ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k }$
D) $\mathbf { T } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \tanh \mathrm { t } ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { k } ; \mathbf { N } = ( \operatorname { sech } t ) \mathbf { i } - ( \tanh t ) \mathbf { k } ; \mathbf { B } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \tanh \mathrm { t } ) \mathbf { i } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathbf { j } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \operatorname { sech } \mathrm { t } ) \mathbf { k }$

Quizplus · Accepted Answer

The correct expressions for T, N, and B can be derived by calculating the derivatives of the given space curve, normalizing the tangent vector to find T, then finding the derivative of T and normalizing it to find N, and finally using the cross product of T and N to find B. The expressions in option D correctly reflect the normalized tangent (T), the principal normal (N), and the binormal (B) vectors for the given space curve.

Find T, N, and B for the Given Space Curve