Let $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 3 t ) \mathbf { i } + \cos ( 3 t ) \mathbf { j } - t \mathbf { k }$ Then the unit normal vector $\mathbf { n } \left( \frac { \pi } { 6 } \right)$ is

A) $- \mathbf { i }$
B)k
C)j
D)i
E) $- \mathbf { j }$

Question

Let $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 3 t ) \mathbf { i } + \cos ( 3 t ) \mathbf { j } - t \mathbf { k }$ Then the unit normal vector $\mathbf { n } \left( \frac { \pi } { 6 } \right)$ is

A) $- \mathbf { i }$
B)k
C)j
D)i
E) $- \mathbf { j }$

Quizplus · Accepted Answer

The unit normal vector is given by $\mathbf { n } ( t ) = \frac { \mathbf { r } ' ( t ) \times \mathbf { r } '' ( t ) } { \left\| \mathbf { r } ' ( t ) \times \mathbf { r } '' ( t ) \right\|} $. At $t = \frac { \pi } { 6 } $, we have $$\mathbf { r } ' \left( \frac { \pi } { 6 } \right) = 3 \cos \left( 3 \frac { \pi } { 6 } \right) \mathbf { i } - 3 \sin \left( 3 \frac { \pi } { 6 } \right) \mathbf { j } - \mathbf { k } = 3 \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right) \mathbf { i } - 3 \left( \frac { 1 } { 2 } \right) \mathbf { j } - \mathbf { k } = \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { i } - \frac { 3 } { 2 } \mathbf { j } - \mathbf { k }$$and $$\mathbf { r } '' \left( \frac { \pi } { 6 } \right) = - 9 \sin \left( 3 \frac { \pi } { 6 } \right) \mathbf { i } - 9 \cos \left( 3 \frac { \pi } { 6 } \right) \mathbf { j } = - 9 \left( \frac { 1 } { 2 } \right) \mathbf { i } - 9 \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right) \mathbf { j } = - \frac { 9 } { 2 } \mathbf { i } - \frac { 9 \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { j }$$So, $$\mathbf { r } ' \left( \frac { \pi } { 6 } \right) \times \mathbf { r } '' \left( \frac { \pi } { 6 } \right) = \left| \begin{array} { c c c } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } & - \frac { 3 } { 2 } & - 1 \\ - \frac { 9 } { 2 } & - \frac { 9 \sqrt { 3 } } { 2 } & 0 \end{array} \right| = - \frac { 27 } { 2 } \mathbf { i } - \frac { 27 \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { j } + 27 \mathbf { k }$$and $$\left\| \mathbf { r } ' \left( \frac { \pi } { 6 } \right) \times \mathbf { r } '' \left( \frac { \pi } { 6 } \right) \right\| = \sqrt { \left( - \frac { 27 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( - \frac { 27 \sqrt { 3 } } { 2 } \right) ^ { 2 } + 27 ^ { 2 } } = \frac { 27 \sqrt { 13 } } { 2 }$$Therefore, $$\mathbf { n } \left( \frac { \pi } { 6 } \right) = \frac { \mathbf { r } ' \left( \frac { \pi } { 6 } \right) \times \mathbf { r } '' \left( \frac { \pi } { 6 } \right) } { \left\| \mathbf { r } ' \left( \frac { \pi } { 6 } \right) \times \mathbf { r } '' \left( \frac { \pi } { 6 } \right) \right\|} = - \mathbf { i }$$

Let r(t)=sin⁡(3t)i+cos⁡(3t)j−tk\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 3 t ) \mathbf { i } + \cos ( 3 t ) \mathbf { j } - t \mathbf { k }r(t)=sin(3t)i+cos(3t)j−tk

Let $\mathbf { r } ( t ) = \sin ( 3 t ) \mathbf { i } + \cos ( 3 t ) \mathbf { j } - t \mathbf { k }$